Matemática básica Ejemplos

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{p q + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \div \frac{3}{p q}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{p q + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Factoriza $q$ de $p q + q^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $q$ de $p q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q p + q^{2}} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Paso 2.1.2

Factoriza $q$ de $q^{2}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q p + q \cdot q} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Paso 2.1.3

Factoriza $q$ de $q p + q \cdot q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p^{2} + p q}) \frac{p q}{3}$

Paso 2.2

Factoriza $p$ de $p^{2} + p q$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $p$ de $p^{2}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p \cdot p + p q}) \frac{p q}{3}$

Paso 2.2.2

Factoriza $p$ de $p q$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p \cdot p + p (q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 2.2.3

Factoriza $p$ de $p \cdot p + p (q)$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 3

Para escribir $\frac{p^{2} + q^{2}}{p q}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{p + q}{p + q}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} \cdot \frac{p + q}{p + q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 4

Para escribir $- \frac{p^{2}}{q (p + q)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{p}{p}$ .

$(\frac{p^{2} + q^{2}}{p q} \cdot \frac{p + q}{p + q} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} \cdot \frac{p}{p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 5

Escribe cada expresión con un denominador común de $p q (p + q)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{p^{2} + q^{2}}{p q}$ por $\frac{p + q}{p + q}$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2}}{q (p + q)} \cdot \frac{p}{p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{p^{2}}{q (p + q)}$ por $\frac{p}{p}$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2} p}{q (p + q) p} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 5.3

Reordena los factores de $q (p + q) p$ .

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q)}{p q (p + q)} - \frac{p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$(\frac{(p^{2} + q^{2}) (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Expande $(p^{2} + q^{2}) (p + q)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{p^{2} (p + q) + q^{2} (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{p^{2} p + p^{2} q + q^{2} (p + q) - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(\frac{p^{2} p + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $p^{2}$ por $p$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.2.1.1

Multiplica $p^{2}$ por $p$ .

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Paso 7.1.2.1.1.1

Eleva $p$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{p^{2} p^{1} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{p^{2 + 1} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.2.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $q^{2}$ por $q$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.2.2.1

Multiplica $q^{2}$ por $q$ .

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Paso 7.1.2.2.1.1

Eleva $q$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2} q^{1} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{2 + 1} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.2.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{2} p}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.3

Multiplica $p^{2}$ por $p$ sumando los exponentes.

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Paso 7.1.3.1

Mueve $p$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - (p \cdot p^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.3.2

Multiplica $p$ por $p^{2}$ .

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Paso 7.1.3.2.1

Eleva $p$ a la potencia de $1$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - (p^{1} p^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{1 + 2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$(\frac{p^{3} + p^{2} q + q^{2} p + q^{3} - p^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.4

Resta $p^{3}$ de $p^{3}$ .

$(\frac{p^{2} q + q^{2} p + q^{3} + 0}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.5

Suma $p^{2} q + q^{2} p + q^{3}$ y $0$ .

$(\frac{p^{2} q + q^{2} p + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.6

Factoriza $q$ de $p^{2} q + q^{2} p + q^{3}$ .

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Paso 7.1.6.1

Factoriza $q$ de $p^{2} q$ .

$(\frac{q p^{2} + q^{2} p + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.6.2

Factoriza $q$ de $q^{2} p$ .

$(\frac{q p^{2} + q (q p) + q^{3}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.6.3

Factoriza $q$ de $q^{3}$ .

$(\frac{q p^{2} + q (q p) + q \cdot q^{2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.6.4

Factoriza $q$ de $q p^{2} + q (q p)$ .

$(\frac{q (p^{2} + q p) + q \cdot q^{2}}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.1.6.5

Factoriza $q$ de $q (p^{2} + q p) + q \cdot q^{2}$ .

$(\frac{q (p^{2} + q p + q^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.2

Cancela el factor común de $q$ .

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común.

$(\frac{q (p^{2} + q p + q^{2})}{p q (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 7.2.2

Reescribe la expresión.

$(\frac{p^{2} + q p + q^{2}}{p (p + q)} - \frac{q^{2}}{p (p + q)}) \frac{p q}{3}$

Paso 8

Simplifica los términos.

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{p^{2} + q p + q^{2} - q^{2}}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 8.2

Combina los términos opuestos en $p^{2} + q p + q^{2} - q^{2}$ .

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Paso 8.2.1

Resta $q^{2}$ de $q^{2}$ .

$\frac{p^{2} + q p + 0}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 8.2.2

Suma $p^{2} + q p$ y $0$ .

$\frac{p^{2} + q p}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 8.3

Factoriza $p$ de $p^{2} + q p$ .

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Paso 8.3.1

Factoriza $p$ de $p^{2}$ .

$\frac{p \cdot p + q p}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 8.3.2

Factoriza $p$ de $q p$ .

$\frac{p \cdot p + p q}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 8.3.3

Factoriza $p$ de $p \cdot p + p q$ .

$\frac{p (p + q)}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 9

Cancela el factor común.

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Paso 9.1

Cancela el factor común de $p$ .

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Paso 9.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{p (p + q)}{p (p + q)} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 9.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{p + q}{p + q} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $p + q$ .

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{p + q}{p + q} \cdot \frac{p q}{3}$

Paso 9.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \frac{p q}{3}$

Paso 10

Multiplica $\frac{p q}{3}$ por $1$ .

$\frac{p q}{3}$